Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.4. Другие элементарные функции

2.4.5. Гиперболические функции

Функция
называется гиперболическим синусом. Функция
называется гиперболическим косинусом.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой функции.

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс:

Тангенс определен на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 (). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y = –1 (при x → –∞) и y = 1 (при x → +∞).

Приведем некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch_– x при x ≤ 0 и arch₊ x при x ≥ 0.

В заключение приведем формулы для обратных гиперболических функций:

|x| < 1,  x ≥ 1,  x ≥ 1.