На промежутке (0; +∞) определена функция, обратная к ax(a > 0, a ≠ 1). Эта функция называется логарифмической:
y = logax.
Логарифмическая функция непрерывна и строго возрастает (если основание a > 1) или строго убывает (если 0 < a < 1) на всей области определения. Множество ее значений – все действительные числа.
Так как логарифмическая и показательная функции взаимно обратны, то при a > 0, a ≠ 1,
График 2.4.4.1.
График логарифмической функции y = log2x.
Ниже приведены некоторые свойства логарифмов (x > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1,
).
loga (x1x2) = logax1 + logax2,
logaxα = α logax,
α ≠ 0.
Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln x. Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lg x.
Сравнивая рост степенной, показательной и логарифмической функции при больших x, можно прийти к следующим выводам:
Показательная функция растет быстрее степенной, а степенная – быстрее логарифмической.