Арксинусомx называют такое число , что sin t = x.
Из определения следует, что
При помощи арксинуса решение уравнения sin x = t записывается следующим образом:
или t = (–1)n arcsin x + πn,
Функция y = arcsin x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок
Она обратна функции y = sin x, рассматриваемой на отрезке
и поэтому монотонно возрастает. Функция y = arcsin x является нечетной.
Арккосинусомx называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что cos t = x. Из определения следует, что
При помощи арккосинуса решение уравнения cos x = t записывается следующим образом:
t = ±arccos x + 2πn,
Функция y = arccos x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок [0; π]. Она обратна функции y = cos x, рассматриваемой на отрезке [0; π], и поэтому монотонно убывает на области определения. Функция y = arccos x не является ни четной, ни нечетной.
Арктангенсомx называют такое число , что tg t = x.
При помощи арктангенса решение уравнения tg x = t записывается следующим образом:
t = arctg x + πn,
Функция y = arctg x является нечетной.
График 2.3.4.3.
График функции y = arctg x.
График 2.3.4.4.
График функции y = arcctg x.
Арккотангенсомx называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что ctg t = x. При помощи арккотангенса решение уравнения ctg x = t записывается следующим образом:
t = arcctg x + πn,
Функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.
Функции y = arctg x и y = arcctg x определены и непрерывны на всей числовой оси. Их областями значений являются, соответственно, интервалы
и (0; π). Арктангенс монотонно возрастает, а арккотангенс монотонно убывает на всей области определения. Функциями, обратными к данным, являются соответственно tg x на
и ctg x на (0; π).
Модель 2.13.
Простейшие тригонометрические уравнения
Из определения обратных тригонометрических функций следуют некоторые тождества.