Учебник. Построение кривых, заданных параметрически

При построении кривых, заданных параметрически: x = x (t), y = y (t), можно придерживаться следующего плана.

1. Найти области определения D_x (t) и D_y (t) функций x (t) и y (t).
2. Найти область определения $D\left(t\right)=D_x\left(t\right)\cap D_y\left(t\right)$ функции, заданной параметрически.
3. Решив уравнения x (t) = 0, y (t) = 0, найти точки пересечения с осями координат.
4. Вычислить производные ${x^{\mathrm{\prime }}}_t$ и ${y^{\mathrm{\prime }}}_t\mathrm{.}$
5. Определить производную ${y^{\mathrm{\prime }}}_x=\frac{{y^{\mathrm{\prime }}}_t}{{x^{\mathrm{\prime }}}_t}\mathrm{.}$ Найти критические точки.
6. На каждом из интервалов, границами которых служат критические точки, определить знак производной ${y^{\mathrm{\prime }}}_x$ и промежутки возрастания и убывания функции y (x), заданной параметрически.
7. Определить экстремумы функции, а также точки, касательная к которым вертикальна (производная ${y^{\mathrm{\prime }}}_x$ в этих точках обращается в бесконечность).
8. Определить особые точки графика, в которых ${x^{\mathrm{\prime }}}_t=0$ и (или) ${y^{\mathrm{\prime }}}_t=0\mathrm{.}$
9. Найти пределы $\underset{t\to t_0}{lim}x\left(t\right)$ и $\underset{t\to t_0}{lim}y\left(t\right)$ в точках t₀, лежащих на границах области определения.
   • Если оба предела конечны, найти касательную к кривой в точке $x_0=\underset{t\to t_0}{lim}x\left(t\right)\mathrm{,}$   $y_0=\underset{t\to t_0}{lim}y\left(t\right)\mathrm{.}$
   • Если один из пределов конечен, а второй бесконечен, то кривая имеет горизонтальную y = y₀ или вертикальную x = x₀ асимптоту.
   • Если оба предела бесконечны, то найти наклонную касательную, вычислив пределы $k=\underset{t\to t_0}{lim}\frac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}\mathrm{,}$   $b=\underset{t\to t_0}{lim}\left(y\left(t\right)-kx\left(t\right)\right)\mathrm{.}$ Если один из этих пределов не существует, то асимптоты нет.
10. Вычислить производную ${y^{\mathrm{\prime \prime }}}_{xx}=\frac{{y^{\mathrm{\prime \prime }}}_{tt}{x^{\mathrm{\prime }}}_t-{y^{\mathrm{\prime }}}_t{x^{\mathrm{\prime \prime }}}_{tt}}{{\left({x^{\mathrm{\prime }}}_t\right)}^3}$ и определить точки перегиба функции и направление выпуклости на каждом из интервалов, ограниченных точками перегиба или точками, в которых вторая производная не существует.
11. Выяснить, существуют ли точки самопересечения графика функции, решив систему $\{\begin{array}{c}x\left(t_1\right)=x\left(t_2\right)\\ y\left(t_1\right)=y\left(t_2\right)\end{array}\mathrm{, }{t}_1\ne t_2$
12. Проверить график функции на симметричность.
    • График функции симметричен относительно точки (a; b), если при любом t можно найти такое t₁, что $\{\begin{array}{c}x\left(t\right)+x\left(t_1\right)=2a\\ y\left(t\right)+y\left(t_1\right)=2b\end{array}\mathrm{.}$
    • График функции симметричен относительно прямой ax + by + c = 0, если при любом t можно найти такое t₁, что $\{\begin{array}{l}a\left(x\left(t_1\right)+x\left(t\right)\right)+b\left(y\left(t_1\right)+y\left(t\right)\right)+2c=0\hfill \\ b\left(x\left(t_1\right)-x\left(t\right)\right)=a\left(y\left(t_1\right)-y\left(t\right)\right)\hfill \end{array}\mathrm{.}$ В частности, график функции симметричен относительно прямой y = x, если при любых t имеет решение система $\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=y\left(t_1\right)\hfill \\ y\left(t\right)=x\left(t_1\right)\hfill \end{array}\mathrm{.}$