Учебник. Геометрический смысл производной

Определение касательной

Возьмем кривую CAB, выберем на ней точку M и проведем секущую AM. Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому пределу – прямой AT. Другими словами $\underset{\mathrm{AM}\to 0}{lim}\mathrm{\angle }\mathrm{TAM}=0\mathrm{.}$ Прямую AT, обладающую таким свойством, называют касательной к кривой CAB в точке A.

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT: $\underset{\mathrm{AM}\to 0}{lim}{k}_{\mathrm{AM}}=k_{\mathrm{AT}}\mathrm{.}$ Данное равенство справедливо, если в точке A существует невертикальная касательная к кривой CAB.

Если кривая CAB является графиком функции f (x), то для углового коэффициента k касательной можно записать: $k=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ (здесь и далее x₀ и f (x₀) – координаты точки касания). Функция f (x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда к графику функции в этой точке можно построить невертикальную касательную, причем угловой коэффициент этой касательной равен производной функции в этой точке: $k=f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)\mathrm{.}$

Другими словами, производная функции в точке x₀ равняется тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Уравнение прямой, проходящей через точку (a; b), задается формулой y = k (x – a) + b. Поэтому уравнение касательной в общем случае выглядит так: $y=f\left(x_0\right)+f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\mathrm{.}$

Проходящие через точку A прямые с угловыми коэффициентами ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{-}}\left(x_0\right)$ и ${f^{\mathrm{\prime }}}_{\mathrm{+}}\left(x_0\right)$ называются, соответственно, левой и правой касательными к графику функции y = f (x) в точке A. Эти касательные совпадают, если функция f дифференцируема в точке A.

Пусть графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x) пересекаются в точке A. Углом φ между их графиками называется угол, образованный касательными к ним в точке A. В этом случае $\{\begin{array}{c}\phi =arctg\left|\frac{f_1^{\text{'}}-f_2^{\text{'}}}{1+f_1^{\text{'}}{f}_2^{\text{'}}}\right|,0\le \phi <\frac{\pi }{2}\\ \phi =\frac{\pi }{2},1+f_1^{\text{'}}{f}_2^{\text{'}}=0\end{array}$

Касательная и нормаль

Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x₀; y₀) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением $y=f\left(x_0\right)-\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\mathrm{,}$ что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

В случае бесконечной производной $f^{\mathrm{\prime }}\left(x_0\right)=\infty$ касательная в точке x₀ становится вертикальной и задается уравнением x = x₀, а нормаль – горизонтальной: y = y₀.