Учебник. График квадратичной функции

График функции $\mathrm{f }\mathrm{(}x\mathrm{)}=a{x}^2+bx+c$ при a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию $y$ Областью определения этой функции являются все $x\in ℝ\mathrm{.}$ Решив уравнение $a\mathrm{,}$  получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0. Функция $f$ является четной (для любых $x\in ℝ$   $a\mathrm{),}$   ось OY является ее осью симметрии. $\underset{x\to \pm \infty }{lim}f\left(x\right)=\infty \mathrm{.}$

При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).

При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].

График функции f (x) = ax² + bx + c легко построить из графика функции y = x² геометрическими преобразованиями, используя формулу $y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{D}{4a}\mathrm{.}$

Для этого нужно растянуть график y = x² в a раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся график на $\frac{b}{2a}$ влево и на $\frac{D}{4a}$ вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную сторону).

Парабола является одним из конических сечений

Точка $x=\mathrm{-}\frac{b}{2a}$ является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и $\underset{x\in ℝ}{min}f\left(x\right)=f\left(\mathrm{-}\frac{b}{2a}\right)=\mathrm{-}\frac{D}{4a}\mathrm{.}$ Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и $\underset{x\in ℝ}{max}f\left(x\right)=f\left(\mathrm{-}\frac{b}{2a}\right)=\mathrm{-}\frac{D}{4a}\mathrm{.}$

Функция f (x) = ax² + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.