Учебник. Кусочно-линейная функция

Рассмотрим функцию $y=\{\begin{array}{ll}2-x\hfill & \text{ при }x<1\mathrm{,}\hfill \\ x\hfill & \text{ при }x\ge 1\mathrm{.}\hfill \end{array}$ На рисунке показан график этой функции. Чтобы его получить, построим график функции y = 2 – x при x < 1 и y = x при x ≥ 1. График представляет собой угол с вершиной A (1, 1) или объединение двух лучей с общей вершиной A. Заметим, что эта функция может быть задана с помощью формулы y = |x – 1| + 1.

График функции $y=\{\begin{array}{ll}1-2x\hfill & \text{ при }x<\mathrm{-}1\mathrm{,}\hfill \\ 3\hfill & \text{ при }x\ge \mathrm{-}1\mathrm{,}\hfill \end{array}=\left|x+1\right|-x+2$ также состоит из двух «кусков» (или представляет собой угол с вершиной (–1; 3)).

Если функция содержит несколько модулей, то раскрывают значение каждого из них на соответствующем промежутке. Таким образом, функция y = a₁ |x – x₁| + a₂ |x – x₂| + … + a_n |x – x_n| + b x + c представима следующим образом:
в виде $y=\{\begin{array}{ll}{y}_1\hfill & \text{ при }x<x_1\mathrm{,}\hfill \\ y_2\hfill & \text{ при }{x}_1\le x<x_2\mathrm{,}\hfill \\ y_3\hfill & \text{ при }{x}_2\le x<x_3\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{...}\hfill \\ y_n\hfill & \text{ при }{x}_{n-1}\le x<x_n\mathrm{,}\hfill \\ y_{n+1}\hfill & \text{ при }{x}_n\le x\hfill \end{array}$ , где y₁, y₂, …, y_n, y_n + 1 – линейные функции. Графиком такой функции является ломаная, имеющая n вершин с абсциссами в точках x₁, x₂, …, x_n (эти точки называются угловыми). Ломаная имеет n + 1 звено (луч либо отрезок). Описанная выше функция называется непрерывной кусочно-линейной функцией.

Функция, задаваемая формулой $y=\{\begin{array}{ll}{y}_1\hfill & \text{ при }x<x_1\mathrm{,}\hfill \\ y_2\hfill & \text{при }{x}_1\le x<x_2\mathrm{,}\hfill \\ y_3\hfill & \text{ при }{x}_2\le x<x_3\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{...}\hfill \\ y_n\hfill & \text{ при }{x}_{n-1}\le x<x_n\mathrm{,}\hfill \\ y_{n+1}\hfill & \text{ при }{x}_n\le x\mathrm{,}\hfill \end{array}$ где y₁, y₂, …, y_n, y_n + 1 – произвольные линейные функции, называется кусочно-линейной.

График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной. Кроме построения n вершин следует построить также две точки: одну левее вершины A₁ (x₁; y (x₁)), другую – правее вершины A_n (x_n; y (x_n)).

Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов.