Учебник. О понятии ОДЗ

Совершенно понятно, что поиск ОДЗ в данном примере сопряжён с огромными трудностями. Однако попробуем решить это уравнение непосредственно. Поскольку мы будем лишь возводить в квадрат, то ОДЗ может лишь расшириться, то есть могут появиться посторонние корни. Однако эти корни мы можем отсеять проверкой. Имеем: $\sqrt{x^3+4x-1-8\sqrt{x^4-x}}=\sqrt{x^3-1}+2\sqrt{x}\Rightarrow$
$\Rightarrow x^3+4x-1-8\sqrt{x^4-x}=x^3-1+4x+4\sqrt{x}\sqrt{x^3-1}\Rightarrow$
$8\sqrt{x^4-x}=4\sqrt{x\mathrm{(}{x}^3-1\mathrm{)}}\Rightarrow \sqrt{x\mathrm{(}{x}^3-1\mathrm{)}}=0\Rightarrow [\begin{array}{l}x=0\mathrm{,}\\ x=1.\end{array}$

Проверкой убеждаемся, что из двух найденных корней подходит только 1. Так как при возведении в квадрат мы не могли потерять решения, а могли только их приобрести, то 1 и есть окончательный ответ.

Ответ. 1.

В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу. В самом деле, ОДЗ: $\{\begin{array}{l}{x}^2-x\ge 0\mathrm{,}\\ 2-x-x^2\ge 0\mathrm{,}\\ x\ge 0\mathrm{;}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in \mathrm{(}\mathrm{-}\infty \mathrm{; }0\mathrm{]}\cup \mathrm{[}1\mathrm{; }\mathrm{+}\infty \mathrm{)}\mathrm{,}\\ x\in \mathrm{[}\mathrm{-}2\mathrm{; }1\mathrm{]}\mathrm{,}\\ x\ge 0\mathrm{;}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\mathrm{,}\\ x=1.\end{array}$

Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является решением уравнения, а x = 1 − является.

Ответ. 1.