Открытая Математика. Алгебра. Разложение выражений на множители

Разложение выражений на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде F₁ (x) ċ F₂ (x) ċ ... ċ F_n (x) = 0,

где выражения F_k (x), k = 1, ..., n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители F_k (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Разложить на множители многочлен x⁵ – 2x³ + x².

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x². Вынесем его за скобку и получим ответ: x⁵ – 2x³ + x² = x²(x³ – 2x + 1).

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы: $\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b), \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}), \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}), \\ a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2}), \\ a^{5} - b^{5} = (a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4}), \\ a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + a^{n - 4} b^{3} + ... + a^{2} b^{n - 3} + a b^{n - 2} + b^{n - 1}), n \in ℤ . \end{array}$

Разложить на множители многочлен (x – 2)⁴ – (3x + 1)⁴.

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше: $\begin{array}{l} {(x - 2)}^{4} - {(3 x + 1)}^{4} = ({(x - 2)}^{2} - {(3 x + 1)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} + {(3 x + 1)}^{2}) = \\ = (x - 2 - 3 x - 1) (x - 2 + 3 x + 1) (x^{2} - 4 x + 4 + 9 x^{2} + 6 x + 1) = \\ = - (2 x + 3) (4 x - 1) (10 x^{2} + 2 x + 5) . \end{array}$

3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Разложить на множители многочлен x⁴ + 4x² – 1.

Имеем $x^{4} + 4 x^{2} - 1 = x^{4} + 2 ċ 2 ċ x^{2} + 4 - 4 - 1 = {(x^{2} + 2)}^{2} - 5 = (x^{2} + 2 - \sqrt{5}) (x^{2} + 2 + \sqrt{5}) .$

4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.

Разложить на множители многочлен 3x³ – x² – 3x + 1.

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax² + bx + c такие, что справедливо равенство 3x³ – x² – 3x + 1 = (x – p)(ax² + bx + c) = ax³ + (b – ap)x² + (c – bp)x – pc.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов: ${\begin{array}{l} a = 3 \\ b - a p = - 1 \\ c - b p = - 3 \\ - p c = 1 \end{array}$ Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3x³ – x² – 3x + 1 разлагается на множители: 3x³ – x² – 3x + 1 = (x – 1)(3x² + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен P_n (x) представим в виде P_n (x) = (x – α) ċ P_{n – 1} (x), где P_{n – 1} (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем P_n (x).

Разложить на множители многочлен x³ – 5x² – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x³ – 5x² – 2x + 16 = (x – 2) ċ Q (x), где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Разложить на множители многочлен x⁴ – 10x² – x + 20.

Преобразуем данный многочлен: x⁴ – 10x² – x + 20 = x⁴ – 5 ċ 2x² – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x²) + x⁴ – x

Рассмотрим теперь многочлен a² – a(1 + 2x²) + x⁴ – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета: a² – a(1 + 2x²) + x⁴ – x = a² – a(1 + 2x²) + x(x³ – 1) = a² – a(1 + 2x²) + x(x – 1)(x² + x + 1). Следовательно, a₁ = x(x – 1), a₂ = x² + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a² – a(1 + 2x²) + x⁴ – x = (a – (x² – x))(a – (x² + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим: x⁴ – 10x² + x + 20 = (5 – x² + x)(5 – x² – x – 1) = (x² – x – 5)(x² + x – 4).

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Разложение выражений на множители

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ