Открытая Математика. Алгебра. Рациональные выражения

Рациональные выражения

Вспомним определение функции (подробнее см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 1.3.1):

Пусть задано числовое множество $D \in ℝ .$ Если каждому числу x ∈ D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x ∈ D. Множество D, называется областью определения функции и обозначается D (f (x)).

Множество, состоящее из всех элементов f (x), где x ∈ D, называется областью значений функции и обозначается E (f (x)).

Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть $f (x) = \frac{P_{n} (x)}{Q_{m} (x)},$ где $P_{n} (x)$ − многочлен n-ной степени, $Q_{m} (x)$ − многочлен m-ной степени. Такую функцию f (x) ещё иногда называют рациональной дробью.

Дробно-линейная функция

$\frac{x^{2} + 2 x - 16}{x - 1}, \frac{(x - 1) (x - 2)}{x^{4}}$ − рациональные функции;
$\frac{\frac{x}{2} + \frac{2}{x}}{x^{2} - 1} = \frac{x^{2} + 4}{2 x (x^{2} - 1)}, x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$ − эти функции изначально не представлены в виде отношения многочленов, но могут быть представлены в таком виде.

Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{P (x) ċ R (x)}{Q (x) ċ R (x)},$ справедливой при $Q (x) \neq 0$ и $R (x) \neq 0,$ где R (x) − многочлен. Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства: $\frac{P}{Q} = - \frac{- P}{Q} = - \frac{P}{- Q} = \frac{- P}{- Q} .$ Например, $\frac{x - 1}{2 - x} = - \frac{1 - x}{2 - x} = \frac{1 - x}{x - 2} = - \frac{x - 1}{x - 2} .$

Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Сократите дробь $\frac{x^{3} - 4 x}{2 x^{2} + 3 x - 2} .$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x + 2)(x – 2). Мы воспользовались вынесением общего множителя за скобку и формулой разности квадратов.

Знаменатель: $2 x^{2} + 3 x - 2 = 2 (x + 2) (x - \frac{1}{2}) = (x + 2) (2 x - 1) .$

Имеем: $\frac{x^{3} - 4 x}{2 x^{2} + 3 x - 2} = \frac{x (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (2 x - 1)} = \frac{x (x - 2)}{(2 x - 1)} = \frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 1} .$

Ответ. $\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 1} .$

Для того чтобы описать действия с рациональными дробями, опишем процедуру их приведения к наименьшему общему знаменателю.

Общим знаменателем нескольких рациональных функций называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Например, общим знаменателем двух дробей $\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 1}$ и $\frac{x^{2} - 1}{x - 2}$ будет многочлен (x – 2)(2x – 1). Но общим знаменателем этих дробей также служит многочлен 2x(x – 2)(2x – 1), а также $14 x^{12} {(x - 2)}^{5} {(2 x - 1)}^{17} .$ Обычно удобнее найти многочлен минимальной степени. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем. В нашем примере таким знаменателем является многочлен (x – 2)(2x – 1). Имеем: $\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 1} = \frac{(x^{2} - 2 x) (x - 2)}{(2 x - 1) (x - 2)},$
$\frac{x^{2} - 1}{x - 2} = \frac{(x^{2} - 1) (2 x - 1)}{(x - 2) (2 x - 1)} .$ Множители, на которые нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, называются дополнительными множителями. В нашем примере дополнительный множитель для дроби $\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 1}$ равен (x – 2), а для дроби $\frac{x^{2} - 1}{x - 2}$ равен (2x – 1).

Итак, для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:

во-первых, разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
во-вторых, найти общий знаменатель всех этих дробей;
в-третьих, найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путём деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
в-четвёртых, умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.

Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{2 x^{3} + 2 x^{2}};$ $\frac{x}{6 x^{2} - 6};$ $\frac{2 (x - 1)}{3 x^{2} + 3 x} .$

Разложим знаменатели дробей на множители:

2x³ + 2x² = 2x²(x + 1).

6x² – 6 = 6(x² – 1) = 6(x + 1)(x – 1).

3x² + 3x = 3x(x + 1).

Значит, общим знаменателем данных дробей будет многочлен 6x²(x + 1)(x – 1). Дополнительными множителями для каждой из дробей будут:

для первой дроби $\frac{6 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{2 x^{2} (x + 1)} = 3 (x - 1);$
для второй дроби $\frac{6 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{6 (x + 1) (x - 1)} = x^{2};$
для третьей дроби $\frac{6 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{3 x (x + 1)} = 2 x (x - 1) .$

Умножим каждую из дробей на её дополнительный множитель, приводя их тем самым к общему знаменателю:

$\frac{1}{2 x^{2} (x + 1)} = \frac{3 (x - 1)}{2 x^{2} (x + 1) ċ 3 (x - 1)} = \frac{3 (x - 1)}{6 x^{2} (x + 1) ċ (x - 1)};$
$\frac{x}{6 (x + 1) (x - 1)} = \frac{x ċ x^{2}}{6 (x + 1) (x - 1) ċ x^{2}} = \frac{x^{3}}{6 x^{2} (x + 1) (x - 1)};$
$\frac{2 (x - 1)}{3 x (x + 1)} = \frac{2 (x - 1) ċ 2 x (x - 1)}{3 x (x + 1) ċ 2 x (x - 1)} = \frac{4 x {(x - 1)}^{2}}{6 x^{2} (x + 1) (x - 1)} .$

Ответ. $\frac{3 (x - 1)}{6 x^{2} (x + 1) ċ (x - 1)}; \frac{x^{3}}{6 x^{2} (x + 1) (x - 1)}; \frac{4 x {(x - 1)}^{2}}{6 x^{2} (x + 1) (x - 1)} .$

Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой: $\frac{P}{Q} + \frac{R}{Q} = \frac{P + R}{Q},$ то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой: $\frac{P}{Q} - \frac{R}{Q} = \frac{P - R}{Q},$ то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Упростите выражение $\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} .$

$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} = x + 1.$

Ответ. x + 1.

Упростите выражение $\frac{x - 2}{x^{2} - x - 6} - \frac{x + 2}{x^{2} - 5 x + 6} .$

$\begin{array}{l} \frac{x - 2}{x^{2} - x - 6} - \frac{x + 2}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x + 2)}^{2}}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \\ = \frac{(x - 2 + x + 2) (x - 2 - x - 2)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{2 x ċ (- 4)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{- 8 x}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} . \end{array}$

Ответ. $\frac{- 8 x}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} .$

Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле: $\frac{P}{Q} ċ \frac{R}{T} = \frac{P ċ R}{Q ċ T} .$ Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Деление. Частное двух дробей находится по следующей формуле: $\frac{P}{Q} : \frac{R}{T} = \frac{P ċ T}{Q ċ R} .$ Другими словами, для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Упростите выражение $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x - 6} : \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 4} .$

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x - 6} : \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x^{2} - 4} = \frac{(x^{2} - 1) (x^{2} - 4)}{(x^{2} + x - 6) (x^{2} - 4 x + 3)} = \\ = \frac{(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x - 2) (x + 3) (x - 1) (x - 3)} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 9} . \end{array}$

Ответ. $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 9} .$

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Рациональные выражения

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ