Учебник. Разложение многочлена на множители

Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.

1. Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.

   Разложить многочлен на множители 12y³ – 20y².

   Имеем: 12y³ – 20y² = 4y² ċ 3y – 4y² ċ 5 = 4y²(3y – 5).

   Ответ. 4y²(3y – 5).

2. Использование формул сокращённого умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.

   Разложить на множители многочлен x⁴ – 1.

   Имеем: x⁴ – 1 = (x²)² – 1² = (x² – 1)(x² + 1) = (x² – 1²)(x² + 1) = (x + 1)(x – 1)(x² + 1).

   Ответ. (x + 1)(x – 1)(x² + 1).

3. Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.

   Разложить на множители многочлен x³ – 3x²y – 4xy + 12y².

   Сгруппируем слагаемые следующим образом: x³ – 3x²y – 4xy + 12y² = (x³ – 3x²y) – (4xy – 12y²). В первой группе вынесем за скобку общий множитель x², а во второй − 4y. Получаем: (x³ – 3x²y) – (4xy – 12y²) = x²(x – 3y) – 4y(x – 3y). Теперь общий множитель (x – 3y) также можно вынести за скобки: x²(x – 3y) – 4y(x – 3y) = (x – 3y)(x² – 4y).

   Ответ. (x – 3y)(x² – 4y).