Учебник. Вычисление расстояний в пространстве

Формула расстояния между точками в декартовой прямоугольной системе координат была получена в параграфе 9.4.

Для определения расстояния от точки W до прямой p можно, выбрав на прямой p какие-нибудь две точки, например $U_1$ и $U_2$ подсчитать стороны треугольника $W$ а затем его высоту WH. Сделать это нетрудно, выражая $W$ двумя способами. А именно, из прямоугольного треугольника $W$   $W$ а из прямоугольного треугольника $W$   $W{H}^2=W{U}_2^2-U_2{H}^2\mathrm{.}$ Таким образом, $W{U}_1^2-U_1{H}^2=W{U}_2^2-U_2{H}^2\mathrm{.}$ Из этого равенства можно найти один из отрезков $U_1$ и $U_2$ затем найти WH. Не останавливаясь здесь на доказательстве, отметим, что из последнего равенства предпочтительней находить больший из этих отрезков. Ясно, что если, например, отрезок $W$ больше отрезка $W$ то и отрезок $U_1$ больше отрезка $U_2$ Сделав в таком случае в последнем равенстве замену $U_2{H}^2={\left(U_1{U}_2-U_{1}H\right)}^2\mathrm{,}$ найдем отрезок $U_1$ а затем и высоту WH.

В некоторых случаях для вычисления расстояния WH бывает целесообразней выразить двумя способами площадь треугольника $W$ Например, так: $S=\frac{1}{2}WHċU_1{U}_2$ и $S=\frac{1}{2}W{U}_1ċW{U}_{2}sin\mathrm{\angle }{U}_{1}W{U}_2\mathrm{.}$

Тогда из равенства $WHċU_1{U}_2=W{U}_1ċW{U}_{2}sin\mathrm{\angle }{U}_{1}W{U}_2$ можно найти искомое расстояние WH.

Расстояние от точки до плоскости удобнее искать векторным методом. Итак, пусть задана точка $M\left(x_0\mathrm{, }{y}_0\mathrm{, }{z}_0\right)$ и некоторая плоскость α: $ax+by+cz+d=0$

Пусть точка $B\mathrm{ (}x\mathrm{, }y\mathrm{, }z\mathrm{)}$ – ортогональная проекция точки M на плоскость α. Тогда $\stackrel{⟶}{MB}=\left(x-x_0\mathrm{, }y-y_0\mathrm{, }z-z_0\right)\perp \alpha \iff \stackrel{⟶}{MB}\mathrm{ |}\mathrm{| }\overrightarrow{n}\mathrm{(}a\mathrm{, }b\mathrm{, }c\mathrm{)}\iff \stackrel{⟶}{MB}=\lambda \overrightarrow{n}\mathrm{,}$ а значит, $x-x_0=\lambda a\mathrm{,}$   $y-y_0=\lambda b\mathrm{,}$   $z-z_0=\lambda c\mathrm{.}$ Точка B лежит в плоскости α, ее координаты $x=x_0+\lambda a\mathrm{,}$   $y=y_0+\lambda b\mathrm{,}$   $z=z_0+\lambda c$ удовлетворяют уравнению плоскости: $a\left(x_0+\lambda a\right)+b\left(y_0+\lambda b\right)+c\left(z_0+\lambda c\right)=0.$ $\lambda =\mathrm{-}\frac{a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d}{a^2+b^2+c^2}\mathrm{.}$

Расстояние от точки $M\left(x_0\mathrm{, }{y}_0\mathrm{, }{z}_0\right)$ до плоскости α равно $\mathrm{|}\stackrel{⟶}{MB}\mathrm{|}=\mathrm{|}\lambda \overrightarrow{n}\mathrm{|}=\mathrm{|}\lambda \mathrm{|}ċ\mathrm{|}\overrightarrow{n}\mathrm{|}\mathrm{,}$ значит $h=\left|\stackrel{⟶}{MB}\right|=\left|\frac{a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right|\mathrm{.}$

Эта формула и выражает расстояние между точкой и плоскостью.