Открытая Математика. Стереометрия. Теорема Симпсона

Теорема Симпсона

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом.

Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Объем V призматоида можно найти по формуле $V = \frac{1}{6} H (S_{1} + 4 S + S_{2}),$ где H – его высота (расстояние между плоскостями оснований), S₁ и S₂ – площади оснований, S – площадь среднего сечения (сечения, параллельного плоскостям оснований и делящего высоту пополам).

На чертеже 6.3.1 изображен призматоид ABCDEFGHK. Среднее сечение – выпуклый многоугольник, стороны которого являются средними линиями боковых граней. Выберем в среднем сечении произвольную точку O и соединим ее со всеми вершинами призматоида. Мы получаем несколько пирамид с общей вершиной O. Пирамида OABCDE имеет объем $V_{1} = \frac{1}{6} H S_{1};$ пирамида OFGHK имеет объем $V_{2} = \frac{1}{6} H S_{2} .$ Основания других пирамид принадлежат боковым граням призматоида. Можно считать основания этих пирамид треугольниками, так как четырехугольную грань можно разделить диагональю на два треугольника. Рассмотрим, например, пирамиду OBCG. Поскольку $S_{G M N} = \frac{1}{4} S_{G B C},$ то $V_{O B C G} = 4 V_{O G M N} = 4 ċ \frac{1}{6} H ċ S_{O M N} .$

Сложив объемы всех таких пирамид, получаем $V_{3} = \frac{1}{6} H ċ 4 S .$

Далее имеем $V = V_{1} + V_{2} + V_{3} = \frac{1}{6} H (S_{1} + 4 S + S_{2}),$

что и требовалось доказать.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Теорема Симпсона

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ