Учебник. Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых

Пусть a и b – скрещивающиеся прямые (чертеж 3.4.1). Через прямую b проведем плоскость α, параллельную прямой a, а через прямую a – плоскость β, перпендикулярную плоскости α. Пусть α ∩ β = c. По теореме о следе c || a. Пусть c ∩ b = A. В плоскости β проводим перпендикуляр AB к прямой a. Заметим, что AB – общий перпендикуляр прямых a и b. Действительно, по теореме 3.9 имеем AB ⊥ α, следовательно, AB ⊥ b. Кроме того, AB ⊥ a по построению. Пусть CD – отрезок с концами на данных прямых a и b ($C\in a,D\in b$ ), $C_1={\text{Пр}}_{\alpha }C$ . Поскольку a || α, то $C_1\in c$ и $C{C}_1=AB$ . Кроме того, $C{C}_1\mathrm{|}\mathrm{|}BA$ , следовательно, $C{C}_1\perp \alpha$ . Видно, что $CD>C{C}_1=AB$ , то есть AB – кратчайшее расстояние между точками прямых a и b. Это расстояние равно расстоянию между прямой a и плоскостью α. Ранее было доказано, что пара скрещивающихся прямых определяет единственную пару параллельных плоскостей. Упомянутое расстояние и есть расстояние между этими плоскостями.

Пусть a и b – данные скрещивающиеся прямые. Выберем на прямой a точку A и на прямой b точку B. Через точки A и B проведем прямые $b^{\prime }$ и $a^{\prime }$ соответственно такие, что $a^{\prime }$   $b^{\prime }$ Образуется две пары пересекающихся прямых параллельных прямым другой пары. По признаку параллельности плоскостей эти пары прямых определяют две параллельные плоскости, в которых и лежат данные скрещивающиеся прямые.