Учебник. Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.
Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Пусть b и c – две пересекающиеся прямые плоскости α (чертеж 3.2.1), d – произвольная прямая плоскости α, a ⊥ b, a ⊥ c. Выбираем на этих прямых векторы как показано на чертеже 3.2.1. Поскольку векторы и неколлинеарные, то где x и y – некоторые числа. Кроме того, заметим, что так как и Теперь имеем: следовательно, и , а d – произвольная прямая плоскости α. Откуда, по определению что и требовалось доказать.
Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.
Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.
Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.
Докажите эти теоремы самостоятельно, используя такое свойство: если векторы коллинеарные и то
Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.
Пусть AO – перпендикуляр к плоскости α (чертеж 3.2.4), O – основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра AO называется расстоянием от точки A до плоскости α . Отрезок, соединяющий точку A с любой точкой плоскости, отличной от O, называется наклонной (AB – наклонная, B – основание наклонной, BO – проекция наклонной на плоскость α, то есть BO = ПрαAB).
Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то
- длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
- наклонные с равными проекциями равны;
- из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.
Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.
Необходимость. Пусть b ⊂ α и b ⊥ AB (чертеж 3.2.5). Поскольку b ⊥ AO, так как AO ⊥ α, то b ⊥ AOB по признаку взаимной перпендикулярности прямой и плоскости; следовательно, b ⊥ OB.
Достаточность. Пусть b ⊂ α и b ⊥ OB. Учитывая, что b ⊥ AO, имеем b перепендикулярна плоскости AOB; следовательно, b ⊥ AB.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".