Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой.
1
Рисунок 5.4.1
Сферу обозначают так: ω (O, R). Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.
Определение 5.6.
Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на расстояние, не большее R, называется шаром.
Иными словами шар – это объединение сферы и всех ее внутренних точек.
Можно также определить шар и как тело, образованное при вращении круга вокруг своего диаметра.
Шар обозначают так же, как сферу: ω (O, R). Точка O называется центром сферы (шара). Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы (шара). Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется хордой сферы (шара). Иногда под радиусом или хордой подразумевают их длину. Хорда, проходящая через центр сферы, называется ее диаметром.
При пересечении сферы плоскостью наибольшая окружность образуется, если плоскость проходит через центр сферы. Линия пересечения называется большой окружностью сферы. Соответствующее сечение шара называется большим кругом шара.
Теорема 5.1. Теорема о кратчайшем пути на сфере.
Кратчайшим путем на сфере, соединяющим две ее точки A и B, является меньшая из двух дуг AB большой окружности, проходящей через A и B.
Проведем плоскость через точки A, B и центр сферы, в сечении получим окружность. Рассмотрим меньшую из дуг AB этой окружности и выберем на ней произвольную точку M. Нашей ближайшей целью будет доказательство того, что кратчайший путь, соединяющий A и B, должен пройти через M. Обозначим центр сферы O и проведем через точку M две плоскости, перпендикулярные радиусам OA и OB. Эти плоскости пересекут сферу по двум окружностям w и u, которые имеют единственную общую точку – точку M. Рассмотрим теперь произвольный путь из A в B, не проходящий через M. Обозначим точку пересечения рассматриваемого пути с окружностью w через K, а с окружностью u – через P. Очевидно, что существует путь, соединяющий точки A и M, такой же длины, что путь, соединяющий A и K. Действительно, в этом легко убедиться, повернув окружность w вокруг OA так, чтобы точка K перешла в точку M. Аналогично, существует путь, между B и M такой же длины, что и путь между B и P. Отсюда следует, что кратчайший путь между A и B должен проходить через M. А поскольку M – произвольная точка меньшей дуги AB, то теорема доказана.
