Возьмем две произвольные окружности ω₁и ω₂. Пусть R₁ и R₂ – их радиусы, а l₁ и l₂ – их длины соответственно. Допустим, что утверждение теоремы неверно и Пусть

Впишем в окружности правильные многоугольники. При достаточно больших n длины окружностей ω₁ и ω₂ будут сколь угодно мало отличаться от периметров вписанных многоугольников P₁ и P₂ соответственно. Это значит, можно так подобрать n, что l₁ – P₁ = δ₁ > 0 и l₂ – P₂ = δ₂ > 0. Подставим выражения для l₁ и l₂ из этих равенств в предполагаемое неравенство: Но по следствию 9.3 и отсюда Здесь ε – фиксированное число, δ₁ и δ₂ могут быть сделаны очень маленькими за счет выбора очень большого n. Например, за счет выбора n можно сделать Тогда, очевидно, что приводит к противоречию. Теорема доказана.