Необходимость. Пусть прямая l пересекает прямые AB, BC, AC соответственно в точках C₁, A₁ и B₁ (рис. 14.2.1). Проведем произвольную прямую P, пересекающую прямую l в точке N, а через точки A, B и C соответственно прямые a, b и c, параллельные прямой l и пересекающие p в точках K, L, M. По теореме о пропорциональных отрезках
Перемножая равенства и учитывая, что получаем искомое равенство.

1

Рисунок 14.2.1

Достаточность. Пусть дан треугольник ABC, точки    и пусть выполнено необходимое условие. Докажем, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. Проведем прямую через заданные две точки A₁ и B₁. Эта прямая пересекает прямую AB в некоторой точке C'.

Действительно, если допустить противное, а именно, что прямая A₁B₁'║(AB), то из подобия треугольников CA₁B₁ и CBA следует, что С учетом необходимого условия получим, что Но такой точки не может существовать, и мы пришли к противоречию. По условию имеем: с другой стороны, в силу необходимого условия справедливо равенство Откуда получаем и приходим к выводу, как и в случае доказательства обобщенной теоремы Чевы, что точки C₁ и C' совпадают.