Геометрическая фигура называется простой, если ее можно разбить на конечное число треугольников. Очевидно, что выпуклый плоский многоугольник является простой фигурой.
Площадью простой фигуры называется положительная величина со следующими свойствами:
равные треугольники имеют одну и ту же площадь;
если фигура разбита на конечное число простых фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих простых фигур;
площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.
Измерение площади состоит в сравнении площади SF данной фигуры F с площадью квадрата со стороной, равной единице измерения. В результате сравнения получается некоторое число – численное значение площади данной фигуры, которое показывает, во сколько раз отличается площадь фигуры F от площади единичного квадрата. Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называются равновеликими.
Пусть F и – равные простые фигуры. Тогда существует такое движение f, что По определению простой фигуры F составлена из некоторых треугольников
Тогда фигура будет составлена из равных им треугольников
...,
Так как по свойству 1 определения площади простой фигуры
...,
и по свойству 2 того же определения
то
Теорема доказана.
Произвольная фигура имеет площадь S, если существуют содержащие ее простые фигуры и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями, как угодно мало отличающимися от S.
– равные простые фигуры. Тогда существует такое движение 
По определению простой фигуры 
Тогда фигура 
будет составлена из равных им треугольников
...,
Так как по свойству 1 определения площади простой фигуры
...,
и по свойству 2 того же определения
то
Теорема доказана.