Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Oy нужно совместно решить их уравнения
Подставляя x = 0 в уравнение гиперболы, получим а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.
Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Ox нужно решить совместно их уравнения
Отсюда, подставляя y = 0 в уравнение гиперболы, получаем x = ±a.
Таким образом, точками пересечения гиперболы с осью Ox будут точки A (a; 0) и B (–a; 0).
Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.
Свойство 10.7.
Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
Если координаты точки M (x; y) удовлетворяют уравнению гиперболы, тому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (–x; –y). Точка N, очевидно, симметрична точке M относительно начала координат.
Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.
Свойство 10.9.
Гипербола пересекается с прямой y = kx при в двух точках. Если то общих точек у прямой и гиперболы нет.
Для определения координат точек пересечения гиперболы и прямой y = kx нужно решить систему уравнений
Исключая y, получаем
или
При то есть при полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Прямые с уравнениями и называются асимптотами гиперболы.
При то есть при система имеет два решения:
и
Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом, модуль которого меньше пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения A (a; 0) и B (–a; 0) – вершины гиперболы.
Так как гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно изучить ее форму в первом квадранте координатной плоскости. Из полученных формул
видно, что при возрастании k от нуля до (при этом угол наклона прямой к оси Ox возрастает от нуля до некоторого значения) и абциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая y = kx пересекает гиперболу во все более далеких от начала координат точках. Таким образом, гипербола имеет вид, изображенный на рис. 10.9.1, и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых ее ветвями.
1
Рисунок 10.9.1
Точки и называются фокусами гиперболы. Здесь
Величина называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается так же, как и в случае эллипса, буквой ε.
Из определения
Из формулы видно, что чем меньше эксцентриситет, тем более гипербола сжата к оси Ox.
В соответствии с обозначениями
Тогда, аналогично случаю с эллипсом,
Координаты точки A при переходе в новую систему координат будут равны
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус гиперболы, и поэтому совпадает с ним.
Уравнение же прямой l в новой системе координат будет иметь вид
Обозначим Так как то, поскольку для гиперболы ε > 1, имеем d < a. Прямая x = d называется директрисой гиперболы, соответствующей фокусу Прямую x = –d называют директрисой, соответствующей фокусу
С учетом симметрии гиперболы относительно осей координат, свойство, с помощью которого определили гиперболу, в новых терминах можно сформулировать так же, как и в случае эллипса: отношение расстояния от любой точки гиперболы до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид гиперболы и ее директрис в канонической системе координат приведен на рис. 10.9.2.
в двух точках. Если 
то общих точек у прямой и гиперболы нет.
(при этом угол наклона прямой к оси 
и 
называются фокусами гиперболы. Здесь 
называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается так же, как и в случае эллипса, буквой ε.
гиперболы, и поэтому совпадает с ним.
Так как 
то, поскольку для гиперболы 
Прямую 
а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат.
или 
то есть при 
полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Прямые с уравнениями 
и 
называются асимптотами гиперболы.
то есть при 
система имеет два решения:
и 
пересекает гиперболу в двух точках. При