График функции
при a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию
Областью определения этой функции являются все
Решив уравнение получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0. Функция
является четной (для любых
ось OY является ее осью симметрии.
График 2.2.3.1.
График функции y = ax2, a = 1 > 0.
При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).
При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].
Модель 2.6.
Построение параболы
График функции f (x) = ax2 + bx + c легко построить из графика функции y = x2 геометрическими преобразованиями, используя формулу
Для этого нужно растянуть график y = x2 в a раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся график на
влево и на
вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную сторону).
1
Рисунок 2.2.3.1.
Парабола является одним из конических сечений
Точка
является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и
Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и
Функция f (x) = ax2 + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.