Выделив полный квадрат, получим уравнение
Если
то отсюда следует, что
или
Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).
1
Рисунок 2.2.2.1.
Алгоритм поиска корней квадратного уравнения
При D > 0 существуют два корня x1 и x2. При D = 0 корни квадратного уравнения совпадают: x1 = x2. Наконец, при D < 0 равенство
невозможно, и корней у квадратного уравнения не существует.
Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители:
Таким образом
y = a (x – x1) (x – x2),
где
Если D = 0, то Если D < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители.
Модель 2.5.
Движение по параболе
Теорема Виета. Для того чтобы числа x1 и x2 были корнями уравнения ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:
Необходимость. Пусть числа
и
являются корнями уравнения (a ≠ 0). Тогда
Имеем
Достаточность. Пусть имеется система
Из первого равенства
Подставляя это значение во второе равенство, получим
откуда
Значит, число
является корнем квадратного уравнения Аналогично доказывается, что
– также корень этого уравнения.
то отсюда следует, что
Если 
и 
являются корнями уравнения 
является корнем квадратного уравнения 
Аналогично доказывается, что 
– также корень этого уравнения.