Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.
Многочлен ax + b, где a, b − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени.
Многочлен
где a, b, c − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).
Многочлен
где a, b, c, d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.
где
− числа, x − переменная, называется многочленом n-ной степени. Традиционно
называется старшим коэффициентом, а
− свободным членом многочлена.
В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.
Модель 2.1.
Степенная функция
Действительное число a называется корнем многочлена Pn (x), еслиPn (a) = 0.
Корень многочлена первой степени легко угадывается:
В самом деле:
Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:
Выражение D = b2 – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥ 0:
Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.
Обозначим
и
Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Отсюда непосредственно видно, что числа x1 и x2 являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.
Квадратный трехчлен раскладывается на множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),
где
и
в том случае, если D ≥ 0.
Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней.
Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.
Пример 1
Разложить на множители квадратный трехчлен x2 – 4x + 3.
Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.
Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение:
всегда имеет два комплексных корня:
Очевидно, что при условии, что a, b, c – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть: